Matematica finanziaria in pillole (3^ Parte)

di Marco Sal­va­ter­ra

3^ Parte: REIN­TE­GRA­ZIO­NE e AM­MOR­TA­MEN­TO

Glos­sa­rio:
Rein­te­gra­zio­ne: in eco­no­mia la quota di rein­te­gra­zio­ne è la somma che si deve ac­can­to­na­re an­nual­men­te in pre­vi­sio­ne di dover so­ste­ne­re una spesa fu­tu­ra per la so­sti­tu­zio­ne di un mezzo di pro­du­zio­ne fisso (che dura più cicli); in ma­te­ma­ti­ca fi­nan­zia­ria, la rein­te­gra­zio­ne è l’in­ver­so del­l’ac­cu­mu­la­zio­ne fi­na­le.
Am­mor­ta­men­to: ri­par­ti­zio­ne in va­lo­ri annui di un de­ter­mi­na­to ca­pi­ta­le ini­zia­le. In ma­te­ma­ti­ca fi­nan­zia­ria, l’am­mor­ta­men­to è l’in­ver­so del­l’ac­cu­mu­la­zio­ne ini­zia­le. La rata annua di am­mor­ta­men­to è la somma pa­ga­ta ogni anno per estin­gue­re un de­bi­to in un certo nu­me­ro di anni.

For­mu­le in­ver­se della an­nua­li­tà:
a) Rein­te­gra­zio­ne
b) Am­mor­ta­men­to

a) For­mu­la di rein­te­gra­zio­ne
Me­dian­te que­sta for­mu­la (in­ver­sa della for­mu­la di ac­cu­mu­la­zio­ne fi­na­le di an­nua­li­tà) è pos­si­bi­le de­ter­mi­na­re la somma che, ac­can­to­na­ta an­nual­men­te per un certo nu­me­ro di anni pari a n, per­met­te di avere una de­ter­mi­na­ta somma (A_n) al ter­mi­ne del pe­rio­do. Viene uti­liz­za­ta anche per cal­co­la­re la media eco­no­mi­ca (ad. es. il red­di­to medio annuo po­sti­ci­pa­to Bfm di beni che danno red­di­ti po­lien­na­li (bo­schi) o va­ria­bi­li an­nual­men­te (frut­te­ti).

For­mu­la di rein­te­gra­zio­ne

dove:
a = somma annua
A_n = somma ri­fe­ri­ta alla fine del pe­rio­do

Eser­ci­zio 1.
Una mac­chi­na agri­co­la viene ac­qui­sta­ta al prez­zo di € 40.000. La sua du­ra­ta in ef­fi­cien­za è pre­vi­sta per 800 ore di fun­zio­na­men­to e nel­l’a­zien­da essa sarà im­pie­ga­ta per 100 ore al­l’an­no. Nel­l’i­po­te­si che sia rea­liz­za­bi­le un va­lo­re di re­cu­pe­ro pari al 10% del va­lo­re a nuovo, se ne cal­co­li la quota annua di rein­te­gra­zio­ne (Q_a), dato un sag­gio di in­te­res­se del 5%.

Du­ra­ta = 8 anni
Va­lo­re da rein­te­gra­re = 40.000 – 4.000 = 36.000

Q_a = 36.000 x 0,05/(1,05⁸ – 1) = 3.769,98 € 

b) For­mu­la di am­mor­ta­men­to
Que­sta for­mu­la, detta anche di estin­zio­ne di un ca­pi­ta­le, serve per cal­co­la­re la rata co­stan­te di  am­mor­ta­men­to di un mutuo. Ogni rata ri­sul­ta for­ma­ta dalla quota d’in­te­res­se sul ca­pi­ta­le pre­sta­to e dalla quota ca­pi­ta­le che serve per rim­bor­sa­re via via il de­bi­to. La rata di am­mor­ta­men­to ri­sul­ta co­stan­te, men­tre la quota in­te­res­si di­mi­nui­sce con il de­cre­sce­re del de­bi­to, men­tre la quota ca­pi­ta­le au­men­ta.

For­mu­la di am­mor­ta­men­to

n = nu­me­ro di an­nua­li­tà
a = rata annua di am­mor­ta­men­to
A₀ = de­bi­to ini­zia­le

Eser­ci­zio 2.
Per l’ac­qui­sto di un im­mo­bi­le viene con­trat­to un mutuo de­cen­na­le di 100.000 € al tasso del 5,0%, estin­gui­bi­le con rate annue di am­mor­ta­men­to.
Cal­co­la­re la rata annua.

Rata annua = 100.000 x (0,05 x 1,05¹⁰)/(1,05¹⁰  – 1) = 12.950,46 €

Se il mutuo viene estin­to con rate che ma­tu­ra­no più volte in un anno (es. se­me­stra­li o men­si­li), dovrà es­se­re uti­liz­za­ta la stes­sa for­mu­la con l’av­ver­ten­za di di­vi­de­re il sag­gio di in­te­res­se per t (t = nu­me­ro di rate al­l’an­no) e mol­ti­pli­ca­re il nu­me­ro di anni n sem­pre per t.

Eser­ci­zio 3.
Per l’ac­qui­sto di un im­mo­bi­le viene con­trat­to un mutuo ven­ten­na­le di 100.000 € al tasso del 5,0%, estin­gui­bi­le con rate se­me­stra­li di am­mor­ta­men­to.
Cal­co­la­re la rata se­me­stra­le.

Rata se­me­stra­le = 100.000 x (0,025 x 1,025⁴⁰)/(1,025⁴⁰  – 1) = 3.983,62 €

De­bi­to re­si­duo di un mutuo
Il piano di am­mor­ta­men­to di un mutuo ri­por­ta anche il de­bi­to che resta da estin­gue­re dopo aver pa­ga­to le sin­go­le rate. Qua­lo­ra di debba cal­co­la­re il de­bi­to re­si­duo dopo aver pa­ga­to un certo nu­me­ro di rate, si dovrà ac­cu­mu­la­re (at­tra­ver­so la for­mu­la di ac­cu­mu­la­zio­ne ini­zia­le di an­nua­li­tà li­mi­ta­te) le rate che de­vo­no es­se­re an­co­ra pa­ga­te.

Eser­ci­zio 4.
Viene ac­ce­so un mutuo ven­ten­na­le di 80.000 € da estin­gue­re con rate se­me­stra­li al sag­gio del 5%.
Cal­co­la­re l’im­por­to che deve es­se­re pa­ga­to (De­bi­to re­si­duo Dr) qua­lo­ra si vo­glia estin­guer­lo an­ti­ci­pa­ta­men­te quan­do sta per sca­de­re la quin­di­ce­si­ma rata.

Rata se­me­stra­le = 3.186,90 €

Man­ca­no da pa­ga­re 25 rate più la rata in sca­den­za.

Im­por­to da ver­sa­re (Dr) = 3.186,90 x (1,025²⁵ – 1)/(0,025 x 1,025²⁵) + 3.186,90 = 61,903,52 €

E’ pos­si­bi­le sca­ri­ca­re (clic­can­do qui >>>) un file in for­ma­to .xls (Mi­cro­soft Excel) che per­met­te di cal­co­la­re il piano di am­mor­ta­men­to di un mutuo.
Istru­zio­ni:
In­se­ri­re i dati nelle ca­sel­le con nu­me­ri in rosso (im­por­to mutuo, du­ra­ta in anni, sag­gio di in­te­res­se e nu­me­ro di rate al­l’an­no (se annue = 1, se se­me­stra­li = 2, se men­si­li = 12).

• Ma­te­ma­ti­ca fi­nan­zia­ria in pil­lo­le (2^ Parte)
• Ma­te­ma­ti­ca fi­nan­zia­ria in pil­lo­le (4^ Parte)

Marco Sal­va­ter­ra, lau­rea­to in Scien­ze agra­rie pres­so la Fa­col­tà di Agra­ria di Bo­lo­gna, in­se­gna Esti­mo ed Eco­no­mia agra­ria al­l’I­sti­tu­to Tec­ni­co Agra­rio di Fi­ren­ze. Cur­ri­cu­lum vitae >>>