di Marco Salvaterra


2^ Parte: VALORI PERIODICI (rendite frazionate, annualità, periodicità)


Glossario:
Valori periodici: sono somme che si ripetono ad intervalli regolari.
Rendite frazionate: valori che si ripetono ad intervalli pari a frazioni di anno (mensilità, bimestralità, semestralità, ecc.).
Annualità: valori che si ripetono ad intervalli pari a un anno.
Periodicità: valori che si ripetono ad intervalli pari a multipli di anno (ogni due anni, ogni tre anni, ecc.; il periodo è detto turno = t).
Anticipati o posticipati: i valori periodici sono anticipati o posticipati a seconda se cadono all’inizio o alla fine del periodo (es. per le mensilità – rendite frazionate – all’inizio o alla fine del mese, per le annualità all’inizio o alla fine dell’anno, per le periodicità all’inizio o alla fine del turno).
Costanti o variabili: i valori periodici sono costanti se hanno lo stesso importo.
Limitati o illimitati: se sono un certo numero di valori si dicono limitati, se se ripetono all’infinito sono illimitati.



Valori periodici:
a) Rendite frazionate (R)
b) Annualità (a)
c) Periodicità o poliannualità (P)



a) Rendite frazionate (R)
Rendite frazionate: valori che si ripetono ad intervalli pari a frazioni di anno.


Sommatoria a fine anno (S1) delle rendite frazionate
Sommatoria delle rendite frazionate


dove:
R = importo rendita frazionata
N = numero di rendite all’anno
r = saggio di interesse
± 1 = +1 se sono rendite anticipate, -1 se posticipate


Esercizio 1.
Un immobile è affittato a un canone annuo di 8.400 € pagabile con rate mensili anticipate. Calcolare l’ammontare del canone annuo posticipato (Cap). Saggio di interesse = 0,04


Cap = 700 x (12 + 0,04 x (12+1)/2) = 8.582 €


b) Annualità (a)
Annualità: valori che si ripetono ad intervalli pari a un anno.
I libri di testo riportano molte formule relative alle annualità limitate (finale, iniziale – o addirittura intermedia – di annualità posticipate e anticipate); noi preferiamo utilizzarne una soltanto, quella di accumulazione finale di annualità costanti posticipate limitate. Con questa è possibile accumulare un certo numero di annualità dove cade l’ultima e da lì, con il montante (qn) o la formula inversa (1/qn) è possibile riportare la somma all’istante desiderato.


Formula di accumulazione finale di annualità costanti posticipate limitate
Accumulazione finale di annualità


dove:
n = numero di annualità


Esercizio 2.
Tizio deposita per 5 anni, alla fine di ogni anno, 2.000 €. Calcolare a quanto ammonta il deposito complessivo due anni dopo l’ultimo deposito (r = 4%).


A7 = 2.000 x (q5 – 1)/0,04 x q2 = 2.000 x 5,41632256 x 1,0816 = 11716,59 €


c) Periodicità o poliannualità (P)
Periodicità: valori che si ripetono ad intervalli pari a multipli di anno (ogni due anni, ogni tre anni, ecc.; il periodo è detto turno = t).
E’ possibile ricavare le formule relative alle periodicità partendo da quelle delle annualità. Basta sostituire r con qt – 1, e qn con qm x t , dove m indica il numero di periodicità; pertanto:


Formula di accumulazione finale di periodicità costanti limitate
Accumulazione finale di periodicità


dove:
An = accumulazione di periodicità dove cade l’ultima
m = numero di periodicità
t = turno o periodo (n di anni tra una periodicità e l’altra)


Esercizio 3.
Calcolare l’accumulazione finale di una periodicità posticipata di 4.000 € che si ripete ogni 4 anni per 5 volte (r = 5%).


A20 = 4.000 x (q20 – 1)/(q4 – 1) = 30.686,77 €



Valori periodici illimitati
Essendo valori (annualità o periodicità) che si ripetono all’infinito, sarà possibile calcolare soltanto l’accumulazione iniziale (queste formule sono dette anche di capitalizzazione).


Accumulazione iniziale di annualità costanti posticipate illimitate


A0 = a/r


Il caso di applicazione pratica più frequente è nella stima analitica del V0 (V0 = Bf/rc), dove Bf è il Beneficio fondiario e rc il saggio di capitalizzazione.
Come detto sopra, sostituendo r con qt – 1, si ottiene la formula relativa alle periodicità:


Accumulazione iniziale di periodicità costanti posticipate illimitate
Formula di accumulazione iniziale di periodicità illimitate



Esercizio 4.
Calcolare l’accumulazione iniziale di una serie illimitata di annualità posticipate di € 2.000, dato un saggio di interesse del 4%.


A0 = 2.000/0,04 = 50.000 €


Esercizio 5.
Un bosco ceduo che si riproduce naturalmente, fornisce un reddito netto ogni 15 anni di 8.000 €. Calcolare il valore del bosco all’inizio del ciclo (cioè appena effettuato il taglio). (saggio di interesse 3%)


V0 = 8.000/(1,0315 -1) = 14.337,77 €



Marco Salvaterra, laureato in Scienze agrarie presso la Facoltà di Agraria di Bologna, insegna Estimo ed Economia agraria all’Istituto Tecnico Agrario di Firenze. Curriculum vitae >>>

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